TRƯỜNG THCS KIM THƯ ĐỀ THI VIOLYMPIC TOÁN 8
Năm học: 2015-2016
(thời gian làm bài 120 phút)
Bài I: ( 5 điểm)
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a+ b+c = 3 và
1
𝑎 +
1
𝑏 +
1
𝑐 = 0. Tính giá trị của a2 + b2 + c2.
Giải phương trình sau: 124x3 + 9x2 – 27x +27 =0.

Bài II: ( 4 điểm)
Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì n5 + 5n3 – 6n chia hết cho 30.
Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x2 +2y2 +2xy +y -2 =0.

Bài III: ( 3 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 4x4 – 3x2 +
1
4
𝑥
2 + 2015.

Bài IV: ( 6 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD, CE.
Chứng minh: AE.AB= AD.AC;
Chứng minh:
𝐴𝐷𝐸
𝐴𝐵𝐶 và
𝐴𝐸𝐷=
𝐴𝐶𝐵;
Biết
𝐴 =
60
0, SABC= 120 cm2. Tính SADE.

Bài V: (2 điểm) Giải phương trình sau:
𝑥−3
2013 +
𝑥−2
2013 = 1.
--Hết--




ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

Bài
Nội Dung
Điểm

Bài I. Phần 1
3 đ
Ta có
1
𝑎 +
1
𝑏 +
1
𝑐 = 0 (
𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 +𝑎𝑏
𝑎𝑏𝑐 = 0 ( bc + ac +ab = 0
a + b + c = 3 ( a2 + b2 + c2 + 2( bc + ac +ab) = 9
mà bc + ac +ab =0 do đó a2 + b2 +c2 = 9.
1 đ
1đ
1đ

Bài I.
Phần 2
2đ
 124x3 + 9x2 – 27x +27 =0
( 125x3 – x3+ 9x2 -27x +27 = 0
( (5x)3 = x3 - 9x2 + 27x – 27
( (5x)3 = (x – 3)3
( 5x = x – 3
( x = −3
4

Vậy S= { −3
4 }

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ


0,5đ

Bài II.
Phần 1
2đ
Đặt B= n5 + 5n3 – 6n = n( n4 +5n2 -6) = n(n2 – 1)(n2 +6)
= n(n -1)(n+1)( n2 +6)
*Ta có n(n-1)(n+1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 mà (2;3) =1 nên chia hết cho 6 (1)
* Xét n = 5k ( k ∈ Z) thì B chia hết cho 5
Xét n = 5k1 + 1 ( k1 ∈ Z) thì n – 1 chia hết cho 5 do đó B chia hết cho 5
Xét n = 5k2 + 2 ( k2 ∈ Z) thì n2 + 6 chia hết cho 5 do đó B chia hết cho 5
Xét n = 5k3 +3 ( k3 ∈ Z) thì n2 +6 chia hết cho 5 do đó B chia hết cho 5
Xét n = 5k4 +4 ( k4 ∈ Z) thì n +1 chia hết cho 5 do đó B chia hết cho 5
Nên với mọi số nguyên n thì B chia hết cho 5 (2)
Từ (1) và (2) và (5;6) = 1 nên B chia hết cho 30.

0,5đ

0,5đ



0,5đ






0,5đ



Bài II
Phần 2
2đ
 x2 +2y2 +2xy +y -2 =0
( ( x + y )2 + y2 +y – 2 = 0
( (x +y)2 = - ( y2 + y -2)
Do (x +y)2 ≥ 0 nên - ( y2 + y -2) ≥ 0
Hay y2 + y -2 ≤ 0 ( ( y -1)( y+2) ≤ 0 ( -2 ≤ y ≤ 1
Mà y ∈ Z nên y ∈ { -2; -1; 0; 1}
Với y = -2 thì x = -2 ( thỏa mãn)
Với y = -1 thì x không là số nguyên
Với y = 0 thì x không là số nguyên
Với y= 1 thì x= -1( thỏa mãn)
Vậy (x;y